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地学数据多元统计实验二：回归分析

一、实验环境

  1. 操作系统：Windows 11
  2. Python 环境：python 3.9.16，geemap，pandas，matplotlib，statsmodels
  3. 编译工具：JupyterLab Desktop 3.4.6-1

二、实验要求

  1. 使用专业数据进行回归分析
  2. 手写实验报告，图表部分使用铅笔绘图

三、实验步骤

3.1 计算长江流域相关数据

使用 Geemap 包调用 GEE 平台的资源和算力计算长江流域的相关数据。

 1、研究区域：长江流域

 2、研究时间：2018 年 1 月 ~ 2022 年 12 月，近五年，60 个月

 3、数据源：

  • CHIRPS 全球准降雨量数据集，每 5 日一次数据
  • MOD09 数据集的 NIR 和 SWIR 波段
  • MOD13 数据集的 EVI 波段
  • MOD16 数据集的 ET 波段

 4、计算数据：

  • P：每月的 CHIRPS 降雨量数据求月度均值
  • ET：每月的 MOD16_ET 蒸发散量求月度均值
  • Q：月度水量平衡
  • MSI：月度干旱指数
  • EVI：月度增强植被指数

 5、相关公式

  • 月度水量平衡
\[ Q=P-ET \tag*{(1)} \]
  • 干旱指数
\[ MSI = SWIR / NIR \tag*{(2)} \]

3.2 导出数据

 1、使用 Geemap 包将计算好的数据以 “时间：相关变量” 的关系导出到 excel 表格中，得到五张数据表。

 2、使用 pandas 包将月度的水平衡、EVI、MSI 指数以时间为匹配合并成一张新表，具体部分数据如下：

表 1 长江流域相关数据表（以2018年上半年为例）

date balance_mean msi_mean evi_mean
2018-01-01 20.13776659 0.913432189 0.166229169
2018-02-01 2.476625534 0.966022926 0.179405804
2018-03-01 30.36589088 0.889692071 0.222627674
2018-04-01 42.32355161 0.790530022 0.308332396
2018-05-01 95.2822297 0.753975527 0.37172006
2018-06-01 103.5617162 0.710246966 0.383874888

3.3 数据分析

 1、使用 describe() 函数获取数据的描述性统计分析

表 2 数据描述性统计分析表

balance_mean msi_mean evi_mean
count 60 60 60
mean 54.23086116 0.797117997 0.289466469
std 49.7602456 0.101809624 0.096046982
min -6.48218478 0.635090271 0.142029182
25% 19.64246664 0.72031554 0.206569206
50% 40.45366585 0.791738236 0.280049746
75% 75.74651309 0.882405791 0.373057061
max 209.3363853 0.995065787 0.475566963

 2、使用 corr(numeric_only=True) 函数进行数据的相关性分析，获得相关矩阵。

表 3 数据相关性分析表

balance_mean msi_mean evi_mean
balance_mean 1 -0.741298715 0.72988548
msi_mean -0.741298715 1 -0.923045341
evi_mean 0.72988548 -0.923045341 1

3.4 数据散点图

 1、使用 matplotlib 包绘制散点图，首先观察水平衡与 EVI 指数的散点关系

evi_balance_scatter

图 1 长江流域月度水平衡与 EVI 散点图 (2018 - 2022)

 2、接下来，再观察 MSI 与 EVI 指数的散点关系

evi_msi_scatter

图 2 长江流域月度 EVI 与 MSI 散点图 (2018 - 2022)

3.5 OLS Regression 普通最小二乘回归

为了研究长江流域的近5年的增强植被指数（EVI）与干旱指数（MSI）和水平衡量（Q）之间的关系，选择增强植被指数作为因变量，设置两个自变量，分别是水量平衡量和干旱指数，并使用多元线性回归模型来分析因变量和自变量之间的线性关系。

多元线性回归模型的一般形式为：

\[ y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k+\epsilon \tag*{(3)} \]

其中，\(y\) 是因变量，\(x_1,x_2,...,x_k\) 是自变量，\(β_0,β_1,β_2,...,β_k\) 是回归系数，\(ϵ\) 是误差项。

 1、首先，使用水平衡量和干旱指数两个自变量建立回归模型

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                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:               evi_mean   R-squared:                       0.857
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.852
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     170.3
Date:                Mon, 29 May 2023   Prob (F-statistic):           9.09e-25
Time:                        08:27:16   Log-Likelihood:                 114.21
No. Observations:                  60   AIC:                            -222.4
Df Residuals:                      57   BIC:                            -216.1
Df Model:                           2                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
================================================================================
                   coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
--------------------------------------------------------------------------------
const            0.9165      0.062     14.689      0.000       0.792       1.041
balance_mean     0.0002      0.000      1.356      0.181   -9.33e-05       0.000
msi_mean        -0.8000      0.070    -11.348      0.000      -0.941      -0.659
==============================================================================
Omnibus:                        2.371   Durbin-Watson:                   1.394
Prob(Omnibus):                  0.306   Jarque-Bera (JB):                2.165
Skew:                          -0.458   Prob(JB):                        0.339
Kurtosis:                       2.835   Cond. No.                     1.44e+03
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 1.44e+03. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.

根据上述输出结果可知，我们得到的是一个二元线性回归模型，有两个自变量和一个因变量。因变量是增强植被指数 EVI，自变量是水平衡量 Q 和干旱指数 MSI，得到的回归方程为：

\[ EVI = 0.9165 + 0.0002 \times Q - 0.8000 \times MSI + \epsilon \tag*{(4)} \]

并根据得到回归报告，说明

【1】标准误差是假设误差项的协方差矩阵是正确指定的。

【2】条件数很大，为1.44e+03。这可能表明存在强的多重共线性或其他数值问题。

 2、接下来剔除掉水平衡 balance_mean 再次建立模型，回归分析结果如下：

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==============================================================================
Dep. Variable:               evi_mean   R-squared:                       0.852
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.849
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     333.9
Date:                Mon, 29 May 2023   Prob (F-statistic):           9.74e-26
Time:                        08:28:50   Log-Likelihood:                 113.26
No. Observations:                  60   AIC:                            -222.5
Df Residuals:                      58   BIC:                            -218.3
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const          0.9836      0.038     25.689      0.000       0.907       1.060
msi_mean      -0.8708      0.048    -18.274      0.000      -0.966      -0.775
==============================================================================
Omnibus:                        2.066   Durbin-Watson:                   1.299
Prob(Omnibus):                  0.356   Jarque-Bera (JB):                1.845
Skew:                          -0.424   Prob(JB):                        0.398
Kurtosis:                       2.865   Cond. No.                         16.2
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

根据上述输出结果可知，我们得到的是一个一元线性回归模型，只有一个自变量和一个因变量。因变量是增强植被指数 EVI，自变量是干旱指数 MSI，得到的回归方程为：

\[ EVI = 0.9836 - 0.8708 \times MSI + \epsilon \tag*{(5)} \]

四、实验总结

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# 对回归模型进行检验和评价
# 回归方程的显著性检验：F检验，p值小于0.05，拒绝原假设，认为回归方程是显著的
# 回归系数的区间估计和显著性检验：t检验，p值小于0.05，拒绝原假设，认为回归系数不等于0
# 残差分析：残差图，正态概率图，残差与自变量的关系图等，检查残差是否符合正态分布、独立性、方差齐性等假设
# 拟合优度：R平方和调整R平方，表示模型对数据的解释程度，越接近1越好

# 使用回归方程进行预测和控制
# 预测：给定自变量的值，计算因变量的预测值，并给出预测区间
# 控制：给定因变量的期望值，计算自变量的取值范围，并给出置信区间

本实验的目的是探究长江流域近5年的干旱指数（MSI）、植被指数（EVI）和水平衡量（降雨量-蒸发量）之间的关系。使用了两个线性回归模型，分别考察了水平衡量对植被指数的影响和干旱指数对植被指数的影响。结果发现：

  • 水平衡量、MSI 和 EVI 之间有很强的相关性，其中水平衡量和 EVI 呈正相关，MSI 和 EVI 呈负相关。包含了水平衡量的线性回归模型拟合得很好，可以解释 90% 左右的 EVI 变化。这个模型是有效的，没有出现明显的统计问题。
  • 但是，水平衡量对植被指数的影响不显著，p 值大于 0.05，说明水平衡量可能不是一个重要的自变量。而且，这个模型可能存在多重共线性或其他数值问题，需要进一步检验。
  • MSI 和 EVI 之间有很强的负相关，即干旱指数越高，植被指数越低。只包含了 MSI 的线性回归模型拟合得也不错，可以解释 85% 左右的 EVI 变化。这个模型是有效的，没有出现明显的统计问题。
  • 因此，本实验表明干旱指数是影响长江流域植被指数的一个重要因素，而水平衡量则不一定如此。建议在未来的研究中，考虑更多可能相关的自变量，如土壤类型、气候变化等，来进一步探究植被指数和水资源之间的复杂关系。

参考

最后更新: 2023-05-29
创建日期: 2023-05-28
作者: gis-xh